4.5 Repaso de los métodos cuantitativos

Se tratarán cinco métodos cuantitativos para pronosticar. Ellos son: 1. Simplista 2. Promedios Móviles 3. Suavización Exponencial 4. Proyección de Tendencia 5. Modelo causal de Regresión Lineal

Los primeros cuatro se llaman modelos de series de tiempo. Ellos predicen sobre la base de la suposición de que el futuro es una función del tiempo pasado. En otras palabras, ellos ven lo que ha pasado en un período de tiempo y usan una serie de datos pasados para hacer el pronóstico.

El último modelo, la Regresión Lineal, es un modelo causal, incorpora al modelo las variables o factores que pueden influenciar la cantidad que se pronostica.

4.5.1 Pasos para determinar un sistema de pronóstico

Independientemente del método utilizado para pronosticar, se siguen los siete pasos en su orden a saber: 1. Determinar el uso del pronóstico ¿Qué objetivos se persigue obtener? 2. Seleccionar la variable que se va a pronosticar 3. Determinar el horizonte de tiempo del pronóstico ¿Es a corto, mediano o largo plazo? 4. Buscar los datos históricos necesarios para hacer el pronóstico 5. Graficar los datos históricos, para observar su comportamiento 6. Seleccionar y validar el modelo de pronóstico 7. Hacer el pronóstico e instrumentar los resultados.

4.5.2 Pronósticos de series de tiempo

Una serie de tiempo se basa en la secuencia de puntos de datos separados de manera uniforme (semanal, mensual, trimestral y así sucesivamente). El pronóstico de serie de tiempo implica que los valores futuros se predicen únicamente a partir de los valores pasados, y que cualquier otra variable se ignore, no importa que tan valiosa sea.

4.5.3 Descomposición de una serie de tiempo

El análisis de las series de tiempo propone fraccionar los datos en componentes para proyectarlos hacia el futuro: Una serie de tiempo tiene cuatro componentes típicos: tendencia, estacionalidad, ciclos y variación al azar. a) Tendencia (T) es el movimiento gradual, ascendente o descendente, de los datos a través del tiempo. b) Estacionalidad (E) es el patrón de datos que se repite a sí mismo después de un período de días, semanas, meses o trimestres (de este último surgió el término estacionalidad, por las estaciones: invierno, primavera, otoño y verano). c) Ciclos (C) son patrones que ocurren en los datos cada varios años. Generalmente se encuentran ligados al ciclo del negocio y son de importancia vital en el análisis y planeación de negocios a corto plazo. d) Variaciones al azar (A) son señales en los datos causadas por oportunidades y situaciones inusuales, no siguen un patrón predecible. En estadística existen dos formas generales de modelos de series de tiempo. El más ampliamente utilizado es un modelo multiplicativo, que asume que la demanda es el producto de los cuatro componentes: Demanda = T x E x C x A Un modelo aditivo ofrece un estimado mediante la suma de los componentes. Se establece como: Demanda = T+ E+C+A En los modelos del mundo real, los que pronostican asumen que las variaciones al azar se promedian en el tiempo. Por lo tanto, se concentran únicamente en el componente estacional. Un componente es la combinación de la tendencia y los factores cíclicos. Figura 4-1

 

4.5.4 Pronósticos de serie de Tiempo 4.5.4.1 Promedio Simplista

La manera más fácil de pronosticar es asumir que la demanda del siguiente período es exactamente igual a la demanda del período inmediatamente anterior. En pocas palabras, si las ventas de un producto, por ejemplos celulares, fueron de 150 unidades en el mes de julio, podemos pronosticar que las ventas de agosto serán también de 150 unidades. ¿Qué sentido tiene esto? Resulta que algunas líneas de productos, seleccionan a este enfoque de pronóstico simplista porque es el modelo de pronóstico más eficiente en cuanto a costo y más objetivo. La objeción principal al uso de estos procedimientos para el pronóstico a corto plazo es que son tan simplistas que lo más probable es que arrojen un error sustancial de pronóstico.

4.5.4. 2 Promedios Móviles

Los promedios móviles son útiles si se asume que las demandas del mercado serán más o menos constantes durante un período de tiempo. Un promedio móvil de cuatro meses se toma sencillamente, como la suma de la demanda durante los últimos cuatro meses dividida entre 4. Con cada mes que pasa, el dato del mes más reciente se adiciona a la suma de los datos de los tres meses previos, y el primer mes se suprime. Esto tiende a suavizar las irregularidades a corto plazo en las series de datos. Matemáticamente, el promedio móvil simple (que sirve como estimación de la demanda del período siguiente) se expresa como: Promedio móvil =  Demanda en n períodos prévios n Donde n es el número de períodos en el promedio móvil, por ejemplo, cuatro, cinco o seis meses, respectivamente, para un promedio móvil de cuatro, cinco o seis períodos.

Las ventas de Licuadoras en un almacén de electrodomésticos en Barranquilla se muestran en la columna central de la siguiente tabla. Un promedio móvil de tres meses aparece a la derecha.

MES Ventas reales de licuadoras Promedio móvil de tres meses Enero 20 Febrero 24 Marzo 28 Abril 32 (20+24+28)/3 = 24 Mayo 36 (24+128+32)/3 = 28 Junio 40 (28+32+36)/3 = 32 Julio 56 (32+36+40)/3 = 36 Agosto 60 (36+40+56)/3 = 44 Septiembre 40 (400+56+60)/3 =52 Octubre 50 (56+60+40)/3 = 52 Noviembre 48 (60+40+50)/3 = 50 Diciembre 64 (40+50+48)/3 = 46 Enero (50+48+64)/3 = 54

4.5.4.3 Promedios móviles ponderados

Cuando existe una tendencia o patrón, los pesos pueden ser utilizados para poner más énfasis en los valores resientes, esto hace que las técnicas sean más sensibles a los cambios, ya que los períodos resientes pueden tener mayor peso. Decidir qué pesos se van a utilizar requiere de alguna experiencia y un poco de suerte. La elección de pesos es de alguna forma arbitraria ya que no existe fórmula alguna para determinarlos. Si el último mes o período tiene demasiado peso, el pronóstico puede reflejar un cambio rápido e inusual en la demanda o patrón de ventas.

Un promedio móvil ponderado se puede expresar matemáticamente como:

Promedio móvil = (Peso para el período n )( Demanda para el período n )  Pesos

Ejemplo 4-2:

El Almacén del Ejemplo 4-1, sea pronosticar las ventas de licuadoras pesando los últimos tres meses como sigue:

esos aplicados Período 3 Último mes 2 Hace dos meses 1 Hace tres meses 6 Suma de los pesos Pronóstico para este mes = 3 x Ventas del último mes + 2 x Ventas de hace dos meses + 1 x Ventas de hace tres meses 6 (Suma de los pesos)

Los resultados de este pronóstico de promedios ponderados se muestran en la siguiente tabla:

MES Ventas reales de licuadoras Promedio móvil ponderado para tres meses Enero 20 Febrero 24 Marzo 28 Abril 32 (3x28+ 2x24 + 1x20)/6 = 25 Mayo 36 (3x32+ 2x28 + 1x24)/6 = 29 Junio 40 (3x36+ 2x32 + 1x28)/6 = 33 Julio 56 (3x40+ 2x36 + 1x32)/6 = 37 Agosto 60 (3x56+ 2x20 + 1x36)/6 = 44 Septiembre 40 (3x60+ 2x56 + 1x40)/6 = 55 Octubre 50 (3x40+ 2x60 + 1x56)/6 = 49 Noviembre 48 (3x50+ 2x40 + 1x60)/6 = 48 Diciembre 64 (3x48+ 2x50 + 1x40)/6 = 47 Enero (3x64 +2x48 + 1x50)/6 = 56

Tanto los promedios móviles simples como los ponderados son efectivos para suavizar las variaciones abruptas en el patrón de demanda, con el fin de ofrecer estimados estables. Sin embargo, los promedios móviles tienen tres problemas. Primero, el incremento del valor de n (Número de periodos promediados) suaviza mejor las fluctuaciones, pero al método menos sensitivo a los cambios reales en la información. Segundo, los promedios móviles no pueden reconocer muy bien las tendencias. Puesto que son promedios, siempre se mantendrán dentro de los niveles pasados, y no predecirán un cambio a mayor o menor nivel. Finalmente, los promedios móviles requieren de una gran cantidad de registros de datos anteriores.

 

4.5.4.4 Suavización Exponencial

La suavización exponencial es un método de pronóstico fácil de usar y se maneja en forma eficiente por medio de las computadoras. Aunque es un tipo de técnica de los promedios móviles, involucra poco respaldo de información pasada: la fórmula de la suavización exponencial básica se muestra a continuación: Pronóstico nuevo = Pronóstico del último período +(Demanda real del último período-Pronóstico del último período) Donde  es un peso, o constante de suavización, que tiene un valor entre 0 y 1, inclusive. La ecuación relacionada antes, también pude escribirse como: Ft = Ft-1 +  (At-1- Ft-1) Donde: Ft = el pronóstico nuevo Ft-1= el pronóstico anterior  = constante de suavización (0  =1) At-1= demanda real del período anterior

El concepto no es complejo. La última estimación de la demanda es igual a la estimación anterior ajustada por una fracción de la diferencia entre la demanda real del período anterior y el estimado anterior.

Ejemplo 4-3: En Junio, un transportador de turistas pronosticó una demanda en Julio para 200 viajes por mes. La demanda real de Junio fue de 180 viajes. Utilizando una constante de suavización de  = 0.25, podemos pronosticar la demanda de Agosto usando el módulo de suavización exponencial, al sustituir en la fórmula se obtiene: El pronóstico nuevo (para la demanda de Agosto) =200+0,25(180-200)=195. Por lo que el pronóstico de la demanda para viajes para el mes de agosto se estima en 195. La constante de suavización  , esta generalmente en el rango de 0,05 a 0,50 para aplicaciones de negocios. Puede cambiarse para dar mayor peso a los datos recientes (cuando  es alta), o mayor peso a los datos anteriores (cuando  es baja). La importancia de los datos de períodos pasados se reduce rápidamente cuando  se incrementa. Cuando  alcanza el extremo de 1,0 entonces Ft-1= 1,0At-1. Todos los demás valores anteriores se eliminan, y el pronóstico se vuelve idéntico al modelo simplista. Esto significa que el pronóstico para el siguiente período es justamente igual a la demanda del actual.

La siguiente ayuda a ilustrar este concepto. Por ejemplo, cuando  =0,5, se puede observar qué nuevo pronóstico se basa en casi en su totalidad en la demanda de los últimos tres o cuatro períodos. Cuando  =0,1, el pronóstico proporciona poco peso en la demanda reciente y toma muchos períodos de valores históricos en consideración.

Constante de suavización Período más Reciente  Segundo período más Reciente (1-) Tercer período más Reciente (1-)2 Cuarto período más reciente (1-)3 Quinto período más Reciente (1-)4  = 0,1 0,1 0,09 0,081 0,073 0,066  =0,5 0,5 0,25 0,125 0,063 0,031

 

• Selección de la constante de suavización El método de suavización exponencial es fácil de usar, y se ha aplicado satisfactoriamente en bancos y compañías financieras, empresas manufactureras, mayoristas y otras organizaciones. El valor adecuado de la constante de suavización  hace la diferencia entre el pronóstico exacto y el inexacto. Al seleccionar un valor para la constante de suavización, el objetivo es obtener el pronóstico más exacto. La exactitud global de un modelo de pronóstico puede determinarse al comparar los valores pronosticados contra los valores observados o reales. El error del pronóstico se define como: Error del pronóstico = Demanda - Pronóstico Una medida del error global del pronóstico para un modelo de desviación media absoluta (DAM). Esta se calcula al sumar los valores absolutos de los errores individuales del pronóstico y dividiéndolos entre el número de períodos de información (n): DAM = errores del pronóstico n

Ejemplo 4-4:

El puerto de Santa Marta ha descargado grandes cantidades de carne de barcos procedentes de Argentina durante los ocho trimestres pasados. El administrador de operaciones del puerto desea probar el empleo de la suavización exponencial y la efectividad del método en la predicción del tonelaje descargado. Él asume que el pronóstico en el primer trimestre fue de 350 toneladas. Se examinan los dos valores de ,  = 0,1 y  = 0,5. La siguiente tabla muestra los cálculos detallados únicamente para  = 0,1:

Trimestre Tonelaje Descargado real Pronóstico redondeado usando  = 0,10* Pronóstico redondeado usando  = 0,50* 1 360 350 350 2 336 351=350 + 0.1(360-350) 355 3 318 350=351 + 0.1(336-351) 346 4 350 347= 350+ 0.1(318-350) 332 5 380 347=347+ 0.1(350-347) 341 6 410 350=347+ 0.1(380-347) 361 7 360 356=350+0.1(410-350) 386 8 384 356=356+0.1(360-356) 373 9 ? 359=356+0.1(384-356) 379 *Pronóstico redondeado a la tonelada más cercana Para evaluar la exactitud de cada constante de suavización se pueden calcular las desviaciones absolutas y DAM.

Trimestre Tonelaje Descargado Real Pronóstico redondeado con  = 0,10 Desviación Absoluta para  = 0,10 Pronóstico redondeado con  = 0,50 Desviación absoluta para  = 0,50 1 360 350 10 350 10 2 336 351 15 355 19 3 318 350 32 346 28 4 350 347 3 332 18 5 380 347 33 341 39 6 410 350 60 361 49 7 360 356 4 386 26 8 364 356 8 373 9 Suma de desviaciones absolutas: 165 179 DAM=desviaciones 20,62 22,37 n Sobre la base de éste análisis, una constante de suavización  = 0,10 se prefiere a  = 0,50 porque su DAM es menor.

4.5.5.5 Proyecciones con tendencia.

Esta técnica ajusta una línea de tendencia a una serie de puntos de datos históricos, y después proyecta la línea hacia el futuro para pronósticos de un rango de mediano a largo plazo. Se pueden desarrollar varias ecuaciones matemáticas con tendencia (por ejemplo, exponenciales y cuadráticas), pero sólo desarrollaremos las tendencias lineales.

Al desarrollar una línea de tendencia mediante un método estadístico preciso, se puede aplicar el método de mínimos cuadrados. Este método da por resultado una línea recta que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias verticales entre la línea y cada una de las observaciones reales. Una línea de mínimos cuadrados se describe en términos de su intersección- y (la altura a la cual intercepta el eje –y) y su pendiente (el ángulo de la línea). Si se puede calcular la pendiente e intersección – y, es posible expresar la línea en la siguiente ecuación: Donde: Llamada "y testada" = valor calculado de la variable a predecir (llamada variable dependiente) a = intersección eje – y, b = pendiente de la línea de regresión (o rango de cambio en y para cambios dados en x) x = la variable independiente (que en este caso es el tiempo) Profesionales de la Estadística han desarrollado ecuaciones que pueden ser utilizadas para encontrar los valores de las variables a y b, en cualquier recta de regresión. La pendiente b se encuentra por:

Donde:

b = pendiente de la línea de regresión  = signo de sumatoria x = valores de las variables independientes y = valores de las variables independientes x = el promedio de los valores de las x y = el promedio de los valores de las y n = el número de puntos de datos, eventos u observaciones

Se puede calcular la intersección de a con y como sigue:

Ejemplo 4-5: La demanda para la energía eléctrica en Bogotá en el período 1999-2005 se muestra a continuación, en megawatts. Ajustar una línea recta con tendencia a estos datos y pronosticar la demanda de 2007.

Año Demanda de energía eléctrica 1999 296 2000 316 2001 320 2002 360 2003 420 2004 572 2005 488

Con una serie de datos en el tiempo, se pueden minimizar los cálculos mediante la transformación de los valores de x (tiempo) a números más simples. Por lo tanto, en este caso, se puede asignar a 1999 como año 1, 2000, como año 2, y así sucesivamente.

 

Año Período Demanda de energía eléctrica x2 xy 1999 1 296 1 296 2000 2 316 4 632 2001 3 320 9 960 2002 4 360 16 1440 2003 5 420 25 2100 2004 6 572 36 3432 2005 7 488 49 3416  28 2772 140 12276

x =  x = 28 = 4, y =  y = 2772 =396 n 7 n 7

= 396- 42.43 (4) = 226.28

En consecuencia, la ecuación de tendencia de los mínimos cuadrados es y = 226.28+42,43x Para proyectar la demanda en 2006, primero se denota el año de 1999 en el número 1 nuevo sistema de codificación como x = 8 (Demanda en 2006) = 226.28 + 42.43 (8) = 565.72, o 566 megawatts Se puede estimar la demanda para 2007= 226.28 + 42.43 (9) = 608 megawatts

Para verificar la validación del modelo, se grafica la demanda histórica y la línea de tendencia en Figura 4-5. En este caso, se pueden tomar precauciones y tratar de entender las oscilaciones en la demanda 1999 – 2.006.

Coeficiente de Correlación (r) El coeficiente de correlación r explica la importancia relativa de la relación entre y y x; si signo de r, la dirección de dicha relación, y el valor absoluto de r, la magnitud de la relación. r puede asumir cualquier valor entre -1 y +1: el signo de r será siempre igual al signo de b. Una r negativa indica que los valores de y y de x tienden a moverse en direcciones opuestas, y una r positiva indica que los valores de y y de x se mueven en la misma dirección. A continuación los significados de varios valores de r:

El valor de este coeficiente varía entre 0.0 y 1.0. Entre más tienda r a 1, es más fuerte el grado de correlación. Se pueden destacar los siguientes cuatro niveles de correlación: 1.00-0.90 Fuerte 0.89-0.70 Buena 0.69-0.45 Mediana 0.44 y menos Débil

En donde r es el coeficiente de correlación y n es el número de puntos o datos. Si aplicamos la anterior fórmula al ejemplo desarrollado para medir el grado de correlación del pronóstico ente y y x tenemos:

Año Período Demanda de energía eléctrica x2 xy y2 1999 1 296 1 296 87616 2000 2 316 4 632 99856 2001 3 320 9 960 102400 2002 4 360 16 1440 129600 2003 5 420 25 2100 176400 2004 6 572 36 3432 327184 2005 7 488 49 3416 238144  28 2772 140 12276 1161200

 

r= ___________(7)(12276)-(28)(2772)_____ = 0.891

Lo que significa que existe una relación positiva fuerte entre el consumo anual de energía y el transcurrir del tiempo.

 

Variaciones de información estacionales-Descomposición mediante la regresión de mínimos cuadrados.

El pronóstico de series de tiempo, involucra examinar la tendencia de los datos a través de una serie de observaciones en el tiempo. Sin embargo, algunas veces, las variaciones recurrentes en ciertas estaciones del año ejercen, de forma necesaria un ajuste estacional en el pronóstico de la línea de tendencia. Por ejemplo, la demanda de carbón y petróleo combustible, generalmente tiene puntos máximos durante los fríos meses de invierno. La demanda de vestidos de baño o loción para broncear pueden tener sus puntos máximos durante el verano. El análisis de datos en términos mensuales o trimestrales generalmente facilita a la persona que hace la estadística señalar los patrones estacionales. Los índices estacionales pueden desarrollarse mediante varios métodos comunes. En el Ejemplo 4-5 se ilustra una manera de calcular factores estacionales a partir de datos históricos.

Para simplificar el ejemplo, se utilizaron únicamente dos períodos por cada índice mensual, por esa causa se ignoraron los cálculos de tendencia. El ejemplo ilustra la manera en que los índices que se han calculado pueden ser aplicados para ajustar los pronósticos de línea de tendencia.

A continuación se muestran las ventas mensuales de Micro - computadoras Acer en Bogotá para 2004-2005.

Mes Demanda de Ventas 2004 Demanda de Ventas 2005 Demanda Promedio 2004-2005 Índice Estacional Promedio** Enero 160 200 180 0.941 Febrero 150 190 170 0..888 Marzo 160 180 170 0.888 Abril 180 220 200 1.045 Mayo 230 260 245 1.281 Junio 220 240 230 1.203 Julio 200 220 210 1.096 Agosto 180 220 200 1.045 Septiembre 190 190 190 0.993 Octubre 150 190 170 0.888 Noviembre 150 190 170 0.888 Diciembre 160 160 160 0.837 Demanda Total promedio = 191,25 *Demanda mensual promedio = 22958/12 meses =191,25 **Índice estacional = Demanda promedio 2004-2005/Demanda mensual promedio. Ahora calcularemos la demanda desestacionalizada: Mes No. Demanda Desestacionalizada 2004 No. Demanda Desestacionalizada 2005 Enero 1 170 13 213 Febrero 2 169 14 214 Marzo 3 180 15 203 Abril 4 172 16 210 Mayo 5 180 17 203 Junio 6 183 18 200 Julio 7 182 19 201 Agosto 8 172 20 211 Septiembre 9 191 21 191 Octubre 10 169 22 214 Noviembre 11 169 23 214 Diciembre 12 191 24 191

Con la demanda desestacionalizada calcularemos los parámetros para línea de tendencia por el método de Mínimos cuadrados:

X Meses Demanda Y XY X2 1 Enero 170 170 1 2 Febrero 169 338 4 3 Marzo 180 540 9 4 Abril 172 688 16 5 Mayo 180 900 25 6 Junio 183 1206 36 7 Julio 182 1274 49 8 Agosto 172 1376 64 9 Septiembre 191 1719 81 10 Octubre 169 1690 100 11 Noviembre 169 1859 121 12 Diciembre 191 2292 144 13 Enero 213 2769 169 14 Febrero 214 2996 196 15 Marzo 203 3045 225 16 Abril 210 3360 256 17 Mayo 203 3451 289 18 Junio 200 3600 324 19 Julio 201 3819 361 20 Agosto 211 4220 400 21 Septiembre 191 4011 441 22 Octubre 214 4708 484 23 Noviembre 214 4922 529 24 Diciembre 191 4584 576 300 4593 59537 4900

b =  x y- n x y = 59537-(24)(12,5)(191.37) = 1,85 x2- nx2 4900-(24) (12.5)2

a = y –b x =191.37- 1.85 (12.5) = 168.28

 

Es decir, la ecuación de la línea de ajuste nos queda: y = 168.28 +1,85x Ahora Proyectaremos para el año 2006 y desestacionalizamos sus datos:

X Meses con base Regresión Factor Proyección xFactor 25 Enero 214 0.941 202 26 Febrero 216 0.888 192 27 Marzo 218 0.888 194 28 Abril 220 1.045 230 29 Mayo 222 1.281 284 30 Junio 224 1.203 269 31 Julio 226 1.096 247 32 Agosto 227 1.045 238 33 Septiembre 229 0.993 228 34 Octubre 231 0.888 205 35 Noviembre 233 0.888 207 36 Diciembre 235 0.837 197

Ejemplo 4- 7: El gerente de Chocolates de Colombia ha utilizado la regresión en series de tiempo para pronosticar la venta de menudeo para los próximos cuatro trimestres. Las ventas estimadas son de $ 100.000.000, $120.000.000, $140.000.000 y $160.000.000 para los respectivos trimestres. Los índices estacionales para los cuatro trimestres son de 1,30; 0,90; 0,70 y 1,15, respectivamente. Para calcular un pronóstico estacional o de ventas ajustado, se debe multiplicar cada índice estacional por el pronóstico de la tendencia adecuado. Y estacional = (índice) x (y pronóstico de la tendencia) Entonces para: Trimestre I: y1 = (1.30) (100.000.000) = $130.000.000.oo Trimestre II: y2 = (0.90) (120.000.000) = $108.000.000.oo Trimestre III: y3 = (0.70) (140.000.000) = $98.000.000.oo Trimestre IV: y4 = (1.15) (160.000.000) = $184.000.000.oo

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